गणितज्ञ लेवेंट अल्पेगे ने सोशल मीडिया प्लेटफॉर्म एक्स पर जैकोबी परिकल्पना के एक संभावित प्रतिउदाहरण को प्रकाशित किया है, जो बीजगणितीय ज्यामिति के क्षेत्र में ज्ञात समस्याओं में से एक है। उनके अनुसार, यह प्रतिउदाहरण भाषा मॉडल क्लॉड फेबल का उपयोग करके खोजा गया था।
इस परिकल्पना का सामान्य कथन 1939 से अनसुलझा रहा है, क्योंकि न तो कोई प्रमाण था और न ही कोई खंडन। जैकोबी परिकल्पना बताती है कि यदि किसी मानचित्र के घटक बहुपदों द्वारा प्रस्तुत किए जाते हैं, और जैकोबी मैट्रिक्स का निर्धारक पूरे स्थान में एक स्थिर गैर-शून्य मान रहता है, तो इस मानचित्र में एक वैश्विक व्युत्क्रम मानचित्र होता है, जिसके निर्देशांक भी बहुपदों द्वारा व्यक्त किए जाते हैं।
इस विचार की जड़ें लुडविग क्राउस में जाती हैं, जिन्होंने 1884 में दो चर के मामले के लिए परिकल्पना तैयार की थी। इसे सामान्य रूप में ओटो गेनरिक केलर ने 1939 में प्रस्तुत किया था। 1998 में, स्टीवन स्माइल ने इस समस्या को 21वीं सदी की 18 सबसे महत्वपूर्ण गणितीय समस्याओं की सूची में संख्या 16 के तहत शामिल किया था।
व्यावहारिक रूप से, परिकल्पना का कार्यान्वयन विभिन्न चरों से कई बहुपदों को मिलाकर एक मानचित्र बनाने की मांग करता है। उदाहरण के लिए, त्रि-आयामी मामले में, मानचित्र इनपुट के रूप में संख्याएँ x, y और z लेता है और तीन नए मान देता है: F(x, y, z) = (F1, F2, F3)।
जाँच करने के लिए, जैकोबी मैट्रिक्स बनाना आवश्यक है, जिसमें प्रत्येक आउटपुट निर्देशांक का प्रत्येक इनपुट के संबंध में अवकलज शामिल होता है। यदि इस मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य नहीं है, तो इसका मतलब है कि मानचित्र स्थानीय रूप से व्युत्क्रमणीय है, यानी किसी भी बिंदु के आसपास के छोटे क्षेत्र में एक व्युत्क्रम मानचित्र मौजूद है।
20 जुलाई को, अल्पेगे ने क्लॉड फेबल की मदद से प्राप्त जैकोबी परिकल्पना के एक विशिष्ट प्रतिउदाहरण को प्रकाशित किया। मानचित्र का स्वरूप इस प्रकार है: F1 = (1 + xy)³z + y²(1 + xy)(4 + 3xy), F2 = y + 3x(1 + xy)²z + 3xy²(4 + 3xy), और F3 = 2x − 3x²y − x³z।
इस मानचित्र के मान तीन अलग-अलग बिंदुओं पर मेल खाते हैं: (0, 0, -1/4), (1, -3/2, 13/2) और (-1, 3/2, 13/2)। इस दौरान, मानचित्र के जैकोबी मैट्रिक्स का निर्धारक इन सभी बिंदुओं पर -2 है। इस प्रकार, परिकल्पना की शर्तों को पूरा करने के बावजूद, मानचित्र अद्वितीय नहीं है, क्योंकि अंतरिक्ष के तीन अलग-अलग बिंदु एक ही छवि में आते हैं, जो व्युत्क्रम मानचित्र के अस्तित्व को असंभव बनाता है। यह सिद्ध करता है कि जैकोबी परिकल्पना अपने मूल रूप में गलत है।
फिलहाल, प्रतिउदाहरण केवल सोशल मीडिया प्लेटफॉर्म एक्स पर प्रस्तुत किया गया है और इसके साथ कोई सहकर्मी-समीक्षित प्रकाशन या प्रीप्रिंट संलग्न नहीं है। हालांकि, चूंकि यह तीसरे आयाम का अपेक्षाकृत संक्षिप्त बहुपद मानचित्र है, गणितज्ञ गणनाओं की त्वरित जाँच करने में सक्षम रहे हैं। यदि इस प्रतिउदाहरण को सही पाया जाता है, तो यह न केवल जैकोबी परिकल्पना को, बल्कि इसके समतुल्य डिक्समिए परिकल्पना को भी गलत साबित करेगा, और बीजगणितीय ज्यामिति और बहुपद मानचित्रों के क्षेत्र में शोध को प्रभावित करेगा।
Anthropic ने रिफ्लेक्ट पेश किया है, जो गुरुवार (09) को बीटा चरण में लॉन्च किया गया एक पैनल है, जिसे उपयोगकर्ताओं को क्लॉड के साथ अपनी इंटरैक्शन पैटर्न की निगरानी और विश्लेषण करने की अनुमति देने के लिए डिज़ाइन किया गया है। इस टूल का उद्देश्य विरोधाभासी है: यह आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस पर बिताए गए समय को बढ़ाने के बजाय, उपयोगकर्ता को यह निर्धारित करने में सहायता करना है कि कब उपयोग कम किया जाना चाहिए।
यह सुविधा मुफ्त, प्रो और मैक्स ग्राहकों के लिए उपलब्ध है, बशर्ते मेमोरी फ़ंक्शन सक्रिय हो। इसका उपयोग करने के लिए, बस वेब इंटरफ़ेस या डेस्कटॉप एप्लिकेशन में क्लॉड सेटिंग्स पर जाएं और रिफ्लेक्ट टैब का चयन करें। Engadget के अनुसार, रिफ्लेक्ट का कार्य Spotify Wrapped या Apple के Screen Time जैसी सुविधाओं से मिलता जुलता है, क्योंकि यह संक्षेप में बताता है कि क्या किया गया, कब और कितने समय तक, जिससे उपयोगकर्ता को यह सवाल करने के लिए प्रोत्साहित किया जाता है कि क्या ये गतिविधियाँ उनके लक्ष्यों के अनुरूप हैं।
पैनल के शीर्ष पर, हाल की इंटरैक्शन का एक पाठ सारांश होता है, जो उपयोगकर्ता को पिछले एक, तीन, छह या बारह महीनों के डेटा को फ़िल्टर करने की अनुमति देता है। नीचे, दिन की सबसे अधिक गतिविधि, चरम समय और अवधि में कुल बातचीत की संख्या जैसे डेटा को दृश्य रूप से प्रस्तुत किया जाता है। वर्तमान में, क्लॉड पर खर्च किए गए कुल समय का प्रदर्शन उपलब्ध नहीं है, जो एक जानबूझकर किया गया निर्णय है। Anthropic की कल्याण नीति निदेशक, Ryn Linthicum ने Engadget को बताया कि कंपनी ने इस डेटा को अधिकतम करने का विकल्प नहीं चुना है, लेकिन भविष्य में इसे उपयोग प्रबंधन सेटिंग्स के साथ उपलब्ध कराने की योजना बना रही है।
पैनल मौन अवधि निर्धारित करने और एक निश्चित अंतराल के बाद उपयोग रोकने के लिए रिमाइंडर स्थापित करने की क्षमता प्रदान करता है। दोनों कार्यक्षमताएं सुझाव के रूप में प्रस्तुत की जाती हैं और यदि उपयोगकर्ता किसी कार्य में व्यस्त है तो उन्हें अनदेखा किया जा सकता है। इसके अलावा, रिफ्लेक्ट चिंतन को प्रोत्साहित करने के लिए आवधिक प्रश्न पूछता है, जैसे: 'आप क्या जारी रखना चाहते हैं, भले ही क्लॉड इसे तेज़ी से कर सके?', जिनके उत्तर सीधे क्लॉड के साथ बहस किए जा सकते हैं।
रिफ्लेक्ट का एक व्यावहारिक खंड पहचाने गए व्यवहारों पर आधारित सिफारिशें प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, यदि सिस्टम देखता है कि उपयोगकर्ता नई बातचीत शुरू करते समय अक्सर समान संदर्भ को फिर से स्थापित करने की आवश्यकता होती है, तो यह संबंधित इंटरैक्शन को समूहित करने के लिए एक प्रोजेक्ट बनाने का सुझाव देगा। ये सुझाव Anthropic द्वारा शोधकर्ताओं के सहयोग से विकसित AI फ्लुएंसी फ्रेमवर्क 4D का पालन करते हैं, जिसमें प्रत्यायोजन (Delegation), विवरण (Description), विवेक (Discernment) और परिश्रम (Diligence) के आयाम शामिल हैं, जो सभी एआई के साथ इंटरैक्शन से पहले, दौरान और बाद में उपयोगकर्ता के निर्णय लेने से जुड़े हैं।
Linthicum ने Engadget को यह घोषित करते हुए अपने ध्यान को मजबूत किया: 'हम [पैनल] को इस तरह से बेहतर बनाने पर केंद्रित करने के लिए बहुत विचारशील थे कि लोग इसका उपयोग कैसे करें, न कि इस तरह से कि वे इसके साथ अधिक समय बिताएं, बल्कि इस तरह से कि वे अपने लक्ष्यों को प्राप्त करने में अधिक कुशल बनें - और, सौभाग्य से, क्लॉड से बाहर निकलें या उन चीजों को संरक्षित करें जिनके बारे में वे स्वयं सोचना चाहते हैं।' सुरक्षा के मामले में, रिफ्लेक्ट गुमनाम मोड में की गई बातचीत, बाहरी उपकरणों द्वारा लिंक की गई फ़ाइलों और स्वास्थ्य एकीकरण से जुड़ी बातचीत को बाहर करता है। Anthropic गारंटी देती है कि पैनल द्वारा एकत्र की गई जानकारी किसी अन्य उद्देश्य के लिए उपयोग नहीं की जाएगी। विकास में MIT मीडिया लैब, बोस्टन चिल्ड्रन्स हॉस्पिटल के डिजिटल वेलनेस लैब और फैमिली ऑनलाइन सेफ्टी इंस्टीट्यूट के विशेषज्ञों की सलाह ली गई थी। मोबाइल डिवाइस और Cowork वार्तालापों के लिए उपलब्धता भविष्य के संस्करणों में अपेक्षित है।
