Mingillik oʻtishga yaqin vaqtda AQShda joylashgan tadqiqot muassasasi boʻlgan Clay Matematika Instituti (CMI) globaldagi asosiy matematiklarni ambitsiyali loyiha uchun yigʻdi. Institutning ilmiy kengashi rahbarligida, yetti taʼkidlangan yangi matematik muammo toʻplami tanlandi va bu «Milliy Muammolar» deb nomlandi.
CMI ning taklifi aniq: bu muammolardan birini birinchi marta hal qilgan tadqiqotchiga bir million dollar mukofot berish. Muhim jihati shundaki, yetti muammoning hech biri oddiy hisoblanmaydi, chunki ular ikkinchi ming yillikka oʻtish paytida matematiklar duch kelgan eng murakkab masalalardan baʼzilarini ifodalaydi.
2000-yil 24-may kuni Institut yetti muammoning yakuniy roʻyxatini eʼlon qildi: Birch va Swinnerton-Dyer faraz nazariyasi; Hodge faraz nazariyasi; Navier-Stokes tenglamalarining mavjudligi va noyobligi muammosi; Poincaré faraz nazariyasi; P versus NP muammosi; Riemann faraz nazariyasi; va Yang-Mills kvant mexanikasi nazariyasidagi massa boʻshligʻi muammosi. CMI ga koʻra, ushbu tashabbusning maqsadi jamoatchilikni matematika cheklangan va hali javob topilmagan muhim savollar bilan toʻla ekanligi haqida xabardor qilishdir.
Hozirda Milliy Muammolar sohadagi eng koʻp oʻrganiladigan mavzular orasida turibdi va CMI ularni hal qilish uchun yakuniy muddat qoʻymagan. Soʻnggi 26 yil ichida faqat bittasi rasman hal qilindi: Poincaré faraz nazariyasi, 2003-yilda rus matematik Grigori Perelman tomonidan. Biroq, yaqinda OpenAI oʻz sunʼiy intellektlaridan biri Navier-Stokes muammosini hal qilganini eʼlon qildi.
Matematik tushunchalarni tushuntirish uchun ikki oʻlchovli sfera bitta yopiq va bogʻliq yuzasi sifatida qaraladi. Amaliy misol olma: agar elastik uning yuzasi atrofida choʻzilsa, u yorilmasdan yoki yuzadan chiqmasdan bitta nuqtaga qisqartirilishi mumkin. Aksincha, shu elastikni vint shaklidagi obʼekt atrofida choʻzilsa, uni elastikni yirtmasdan yoki oʻzining vintini yirtmasdan nuqtaga qisqartirish imkonsiz boʻladi.
1904-yilda Henri Poincaré bu dinamikaning obʼektlarning ikki oʻlchovli yuzalari bilan ifodalanishi mumkinligini aniqladi: olma yuzasi «oddiy bogʻliq» sifatida tasniflanadi, vint esa emas. Poincaré faraz nazariyasi ushbu tadqiqotning davomi boʻlib, ikki oʻlchovli yuzalar haqidagi bu kashfiyot uch oʻlchamli shakllarga ham tatbiq etilishi mumkinligini bilib olishni maqsad qilgan edi.
2002 va 2003-yillarda Perelman har qanday yopiq, teshiklarsiz uch oʻlchovli fazo sferaga teng ekanligini isbotlab, Poincaré kashfiyotining uch oʻlchamli holatdagi toʻgʻriligini tasdiqladi.
P versus NP muammosi hozirda kompyuter fanidagi eng katta hal qilinmagan muammo sifatida qaraladi. U quyidagi savolga asoslanadi: agar maʼlum bir muammoning yechimi toʻgʻri ekanligini tekshirish nisbatan oson boʻlsa, bu yechimni topish ham oson degani boʻladimi?
Clay Matematika Instituti (CMI) oʻzi bir misol keltiradi: 400 ta talaba uchun yotoqxona tashkil qilishni tasavvur qiling, bunda faqat 100 tasi yotoqxona uchun tanlanadi va baʼzi talabalar birga yashamaydigan cheklovlar mavjud. Bu vaziyatda, aniq tanlov meʼyorlarga javob berishini tekshirish oson, ammo bu roʻyxatni boshidan yaratish jarayoni juda murakkab.
Matematiklar Navier-Stokes tenglamalari shamol va turbulensiyani bashorat qilish imkonini berishi mumkinligiga ishonadilar, chunki bu tenglamalar suv kabi suyuqliklarning harakatini tasvirlaydi. XIX asrda formulalangan boʻlsa-da, bu tenglamalarni tushunish hali ham juda cheklangan. Navier-Stokes muammosi bu tenglamalar har doim barcha vaqtlar uchun amal qiluvchi yechim hosil qila olishini yoki maʼlum sharoitlarda singulyarlik hosil qila olishini savol qiladi.
OpenAI tomonidan kiritilgan daʼvo ushbu ikkinchi turdagi vaziyatni aniq belgilaganligini bildiradi.
Asosiy sonlarning tabiiy sonlar orasidagi taqsimoti bashorat qilinadigan tartibga amal qilmaydi. Biroq, nemis matematik G.F.B. Riemann (1826-1866) bu asosiy sonlarning chastotasi murakkab funksiyaning xatti-harakati bilan bogʻliqligini kuzatgan. Riemann faraz nazariyasi $\zeta(s) = 0$ tenglamasining barcha noanʼanaviy nolchilari aniq vertikal chiziqda joylashganligini taxmin qiladi. Garchi bu bayonot birinchi 10 trillion yechimlar uchun isbotlangan boʻlsa-da, barcha yechimlar uchun uning toʻgʻriligi hali nomaʼlum.
1954-yilda Chen Ning Yang va Robert Mills geometriyada topilgan tuzilmalardan foydalanib, elementar zarralarni tasvirlash uchun yangi tuzilmani kiritdilar. Yang-Mills nazariyasi yaxshi oʻrnatilgan boʻlsa-da, uning matematik asoslari hali ham aniqlikdan mahrum. Simulyatsiyalar va tajribalar vakuumdan yuqori eng past energiya holati minimal musbat energiyaga ega boʻlishi kerak boʻlgan «massa boʻshligʻi» mavjudligini koʻrsatadi. Muammo bu nazariyaning qatʼiy mavjudligini va bu boʻshliqning sodir boʻlishini matematik jihatdan isbotlashda namoyon boʻladi.
Birch va Swinnerton-Dyer muammosi elliptik egri chiziqlarga qoʻllaniladigan Sonlar Nazariyasi doirasida yangi farazni taklif qiladi. Elliptik egri chiziqlar $y^2 = x^3 + ax + b$ kabi maxsus tenglamalar bilan aniqlanadi va ratsional koordinatalarga ega cheklangan yoki cheksiz miqdordagi nuqtalarga ega boʻlishi mumkin. Ushbu faraz ushbu nuqtalar soni bilan egri chiziqqa bogʻliq matematik funksiyaning xatti-harakati oʻrtasida aloqani oʻrnatadi.
CMI tushuntirganidek, «agar yechimlar abelian varieteta nuqtalari boʻlsa, Birch va Swinnerton-Dyer faraz nazariyasi ratsional nuqtalar guruhining hajmi $\zeta(s)$ funksiyasining $s=1$ nuqtasiga yaqin xatti-harakati bilan bogʻliq ekanligini taʼkidlaydi».
Hodge faraz nazariyasi maʼlum geometrik fazolarning topologik xususiyatlari qanchalik algebraik tenglamalar bilan aniqlangan elementlar orqali tushuntirilishi mumkinligini oʻrganadi. U bu fazolarning baʼzi topologik xususiyatlari algebraik tenglamalar bilan ham tasvirlanishi mumkin boʻlgan kichik fazolarning kombinatsiyalari bilan mos kelishini taʼkidlaydi.
